3.2 Coordenadas Homogéneas y Representación Matricial de Transformaciones 2D Transformaciones 2D Compuestas
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En aplicaciones de diseño y de creación d imágenes realizamos transformaciones para ajustar los componentes de la imagen en sus posiciones apropiadas. Es posible expresar cada una de las transformaciones básicas en la forma de matriz general:
Con las posiciones de coordenadas P y P’ representadas como columnas de vector. La matriz M1 es una matriz de dos por dos, que contiene factores de multiplicación y M2 es una matriz de columnas de dos elementos que contiene términos de traslación. Para la traslación M1 es la matriz de identidad. Para la rotación o la escalación M2 contiene los términos de traslación asociados con el punto pivote o el punto fijo de escalación. Se pueden combinar los términos de multiplicación y de adición para transformaciones geométricas bidimensionales en una sola representación de matriz al ampliar las representaciones de matriz de dos por dos a matrices de tres por tres. Esto permite expresar todas las ecuaciones de matriz como multiplicaciones de matriz, si también se amplían las representaciones de matriz para las posiciones de coordenadas. Para expresar cualquier transformación bidimensional como una multiplicación de matriz, se representa cada posición de coordenadas cartesianas (x,y) con las tres coordenadas homogéneas (xh , yh , h ), donde:
Por tanto, una representación general de coordenadas homogéneas se puede expresar también como (h*x, h*y, h). Para transformaciones geométricas bidimensionales, se selecciona el parámetro homogéneo h como cualquier valor no cero. Así, existe un número finito de representaciones homogéneas equivalentes para cada punto de coordenadas (x, y). Una opción conveniente consiste en solo establecer h=1. Entonces, se representa cada posición bidimensional con las coordenadas homogéneas (x , y, 1). En matemáticas se utiliza el término coordenadas homogéneas para referirse al efecto de esta representación de ecuaciones cartesianas. Cuando se convierte un punto cartesiano (x,y) a una representación homogénea (xh, yh, h) las ecuaciones que contiene x y y, como f(x,y) = 0, se convierten en ecuaciones homogéneas en los tres parámetros y . Esto solo significa que si se sustituye cada uno de los tres parámetros xh, yh, h con cualquier valor v veces ese parámetro, el valor v se puede factorizar fuera de las ecuaciones. Expresar coordenadas homogéneas nos permite representar todas las ecuaciones de transformación geométrica como multiplicaciones de matriz. Se representan las coordenadas con vectores de columna de tres elementos y las operaciones de transformación se expresan como matrices de 3 por 3.
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