2.5.1 Propiedades de las Elipses
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Una elipse se define como el conjunto de puntos en que la suma de las distancias desde dos posiciones fijas (focos) sea la misma para todos los puntos. Si las distancias a los dos focos desde cualquier punto P = (x , y) en la elipse se representan como d1y d2, entonces la ecuación general deuna elipse puede expresarse como d1 + d2 = constante Al expresar las distancias d1y d2,, en términos de las coordenadas focales F1 = (x1 , y1,) y F2= (x2 , y2), tenemos √((x - x1,)2 + (y - y1,)2) + √((x - x2,)2 + (y - y2,)2) = constante Si elevamos al cuadrado esta ecuación, aislamos el radical restante y luego la elevamos al cuadrado una vez más, podemos volver a expresar la ecuación general de la elipse en la forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey+ F = 0 donde los coeficientes A, B,C, D, E y F se evalúan en términos de las coordenadas focales y las dimensiones de los ejes mayor y menor de la elipse. El eje mayor es el segmento de línea recta que se extiende desde un lado de la elipse al otro a través de los focos. El eje menor abarca la dimensión más corta de la elipse, dividiendo en dos partes el eje mayor en la posición central (centro de la elipse) entre los dos focos. Las ecuaciones de la elipse se simplifican, en gran medida, si se orientan los ejes mayor y menor para alinearse con los ejes de las coordenadas. La ecuación de la elipse puede expresarse en términos de las coordenadas del centro de la elipse y los parámetros rx y ry como ( (x - xc ) / r x)2 + ( (y - yc) / ry)2 = 1 Al utilizar las coordenadas polares r yθ, también es posible describir la elipse en posición estándar con las ecuaciones paramétricas x = xc + rx cosθ y = yc + ry senθ Se pueden aplicar consideraciones sobre la simetría para reducir aún más los cálculos. Una elipse en posición estándar es simétrica entre cuadrantes, pero a diferencia de la circunferencia, no es simétrica entre los dos octantes de un cuadrante. De este modo, debemos calcular las posiciones de pixel a lo largo del arco elíptico a través de un cuadrante, entonces obtenemos por simetría las tres posiciones de los otros tres cuadrantes. |