6.3-Estimación para Proporciones
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En muchos problemas podemos estimar proporciones, probabilidades porcentajes o razones como la proporción de defecto en el embarque grande de transistores, la probabilidad de que un auto detenido en un retén tendrá sus luces apagadas; en muchos de estos es razonable tener que están mostrando una población binomial x por lo tanto que nuestra formula es estimar el parámetro binomial. Así se puede hacer la distribución que para el valor de n cuando es grande la distribución binomial se reduce con una distribución normal. Z=(x-nθ)/√((nθ(1-θ)) Se puede tratar como una variable aleatoria que tiene aproximación a la distancia normal estándar al sustituir la expresión por Z en: P (-Z ∝⁄2< Z < Z ∝⁄2)=1-∝ P (〖 θ〗^∆ (-Z ∝⁄2 * (θ(1-θ)/√n )< θ<θ Z ∝⁄2 * (θ(1-θ))/√n =1-∝ Donde 〖 θ〗^∆=x/n TEOREMA: Si x es una variable aleatoria binomial con los parámetros nθ; n es grande θ es igual ∝( x/n) entonces: 〖 θ〗^∆ ((-Z ∝⁄2) * θ(1-θ)/√n< θ<θ+ Z ∝/2 (θ(1-θ))/√n
Es un intervalo de confianza de (1-∝) 100. Ejemplo: una muestra aleatoria si 136 personas de 400 a quien se le aplica una vacuna experimentaron Desarrolla un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción que experimentara alguna comodidad por la vacuna. n=400 x=136 p ()=95% 〖 θ〗^∆=136/400=0.34 95%=(1-∝) 100% .95=1-∝ ∝=0.8
Z.05/2=Z.25=1.96 .34-1.96√((.34(1-.34))/400)< θ<.34+1.96 √((.34(1-.34))/400) 0.2935< θ<0.3864 Para combinarlo a X se multiplica por n. 0.2935 x 400 0.3864 x 400 117 < x < 154
TEOREMA Si 〖 θ〗^∆=x/n se usa como estimador de θ podemos, con (1-∝) 100% de confianza que el error es igual a: (Z ∝⁄2 ) (θ(1-θ)/√n)
Ejemplo: Se hace un estudio para determinar la proporción de votantes en una comunidad bastante grande que esta de la construcción de una planta nuclear. Si 140 de 400 votantes seleccionados aleatoriamente y se usa θ como una estimulación de la proporción actual de todos los votantes de la comunidad que favorecen el proyecto que podemos decir con un 99% de confianza sobre cromas. P (M)=99% n=400 99%=(1-0.01)100% x=140 ∝=0.01 〖 θ〗^∆=140/400=0.35 Z 0.01⁄2=Z0.005=2.275 2.275√(0.35(1-0-0.35))/400=0.0614 0.0614 x 400= 24 personas. La estimulación de diferencias entre proporciones en muchos problemas se debe calcular la diferencia entre los parámetros binomiales sobre la base de muestras aleatorias independientes de tamaño n1n2 entre dos poblaciones binomiales. Este sería el caso, por ejemplo: si se quiere estimar la diferencia entre las proporciones de votantes hombre y mujeres que favorecen a cierto candidato para gobernador. Si los números respectivos de éxito son x1x2 y las proporciones muéstrales correspondientes se denotan 〖 θ〗^∆=x/n 〖 θ〗1^∆=x1/n1〖 θ〗2^∆=x2/n2
Se investiga la distribución muestral de θ1 θ2 lo cual es estimulador obvio θ1 -θ2 es decir: E (θ1^∆ -θ2^∆)= θ1 -θ2 Var(θ1^∆ -θ2^∆)= θ1 (1–θ1)/n1+ θ2 (1–θ2)/n2
Puesto que para nuestra grande x1x2 importando también su diferencia se puede aproximar con distribuciones normales como se sigue lo siguiente: Z=(θ1^∆ -θ2^∆)-(θ1 -θ2))/ √ (θ1 (1–θ1)/n1+ θ2 (1–θ2)/n2)
(Allan H. Smith & Michael N. Bates, 1992) |
