3.4.4      Ejemplos

Serie geométrica

Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).

Si llamamos a al primer término y k a la constante,
S_n = a + ak + ak² + ak³ + ... + ak^n-1 = Σ ak^n-1

Multipliquemos ambos miembros por k:
kS_n = ak +ak² + ak³ + ak⁴ + ... + akⁿ = Σ akⁿ

Restamos ambas ecuaciones:
S_n - kS_n = a - akⁿ

(a-akn) Sn= ------- (1-k) a aknSn= --- - --- 1-k 1-k

Serie telescópica

Serie tal que cada término se expresa como una diferencia de la forma a_n = b_n - b_n+1.

Teorema

Suma de una serie telescópica

Sean a_n y b_n dos sucesiones tales que a_n = b_n - b_n+1.
La serie telescópica Σ a_n converge si y sólo si la sucesión b_n converge y se cumple que Σ a_n = b₁ - L dondeL = lim b_n+1.

Demostración:

S_n = Σ a_n = Σ (b_n - b_n+1) = (b₁ - b₂) + (b₂ - b₃) + ... + (b_n - b_n+1) = b₁ - b_n+1

lim S_n = lim b₁ - lim b_n+1

Por lo tanto Σ a_n converge si y sólo si b_n converge, y en ese caso su suma es b₁ - L, donde L = lim b_n+1. (Si b_n diverge, Σ a_n también).

Ejemplo: S_n = Σ 1/(n² + n)

a_n = 1/(n² + n) = 1/n - 1/n+1

b_n = 1/n converge a 0

=> Σ 1/(n² + n) converge a 1 - lim 1/n+1 = 1

Series de términos positivos

Serie de términos positivos (STP)

Es una serie Σ a_n tal que a_n>=0 para todo n.
(La serie es siempre una sucesión creciente).

Ejemplo: Σ 1/2ⁿ