3.4.2      Criterios de series convergentes y divergentes.

Serie convergente

En matemáticas, una serie (suma de los términos de una secuencia de números), resulta convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.

Una serie se dice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita)

Una serie se dice divergente si su límite es infinito.  

Determinar el carácter de una serie es hallar si la serie es convergente o divergente. Una tercera posibilidad es que este límite no exista,  como en el caso de las series oscilantes (formadas por términos positivos y negativos),  como por ejemplo  la serie: 

3 – 3 + 3 – 3 + 3 - ....+ (-1)ⁿ . 3 +.....

todo depende de cómo agrupemos sus términos para que la suma de uno u otro valor, si los agrupamos de dos en dos:

(3 – 3) +( 3 – 3) + (3  – 3)+ ....+ (3  – 3).....

la suma sería 0, pero, se pueden agruparlos de otras maneras, como ejemplo:

3 +  (– 3+3) + (– 3+3) + ... + (– 3+3) + ....

cuya suma sería claramente 3. Entonces la suma no tiene un valor único, para evitarnos estas paradojas nosotros sólo tratamos con series que sean o convergentes o divergentes.

 Si desde un termino k-ésimo en adelante los términos de una serie se mantienen menores o iguales a los de otra serie convergente, entonces la primera serie también es convergente.

  Es decir, si tenemos que a partir de k en adelante:

Como la serie de las 'x' es convergente, la de las 'y' también lo será , pues sus infinitos términos son casi todos menores, o como mucho iguales.

De una manera análoga, si desde el término k-ésimo en adelante los términos de la serie de las y’s son mayores o iguales a los correspondientes de la serie de las x’s y ésta es divergente, entonces la primera también lo es.

 Entonces, todo se reduce a comparar ambas series y establecer una de las dos posibilidades:

aunque hay que tener en cuenta que no para toda pareja de series puede establecerse claramente una relación de esta naturaleza.

Criterio de comparación:

Si desde un termino k-ésimo en adelante se verifica:

siendo la serie de las 'x'  convergente, entonces la serie de las 'y' también lo será .

 De modo análogo, si desde un termino k-ésimo en adelante se verifica:

siendo la serie de las 'x'  divergente, entonces la serie de las 'y' también lo será .

Basado en estos dos últimos tenemos un tercer criterio muy útil:

Criterio del límite:

 Suponiendo que:

    (siendo l finito)

Entonces si  la serie de las 'x'  es convergente, entonces la serie de las 'y' también lo será .