1.3.2 Asociativa

Leyes Asociativas

Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario, U, se verifica:

1. A∪ (B ∪ C) = (A∪B) ∪ C

2. A∩ (B ∩ C) = (A∩B) ∩ C

Demostración

Sea x es un elemento arbitrario de U. Entonces,

1.

x ∈ A∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∪ C)] {Definición de unión}

⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) {Definición de unión}

⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C {Asociatividad de ∨}

⇐⇒ (x ∈ A∪B) ∨ x ∈ C {Definición de unión}

⇐⇒ x ∈ (A∪B) ∪ C {Definición de unión}

De la arbitrariedad de x se sigue que

∀x [x ∈ A∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A∪B) ∪ C]

de aquí que

A∪ (B ∪ C) = (A∪B) ∪ C