1.3.3 Distributiva

Leyes Distributivas

Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal arbitrario, U, se verifica:

1. A∪ (B ∩ C) = (A∪B) ∩ (A∪ C)

2. A∩ (B ∪ C) = (A∩B) ∪ (A∩ C)

Demostración

1. Sea x cualquier elemento del conjunto universal U, entonces

x ∈ A∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∩ C)] {Definición de unión}

⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) {Definición de intersección}

⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) {Distributivita}

⇐⇒ x ∈ (A∪B) ∧ x ∈ (A∪ C) {Definición de unión}

⇐⇒ x ∈ (A∪B) ∩ (A∪ C) {Definición de intersección}

Al ser x cualquier elemento de U, se sigue que

∀x [x ∈ A∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A∪B) ∩ (A∪ C)]

consecuentemente,

A∪ (B ∩ C) = (A∪B) ∩ (A∪ C)