2.1.2 Representación entre conjuntos diferentes y un conjunto mismo
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La forma más directa de expresar una relación entre elementos de dos conjuntos es usando pares ordenados, por lo que de manera abstracta se puede definir una relación es como un conjunto de pares ordenados. En este contexto se considerará que el primer elemento del par ordenado está relacionado con el segundo elemento del par ordenado. Definición: Si A y B son dos conjuntos no vacíos, el producto cartesiano A × B será el conjunto de pares ordenados (a, b), donde a ∈ A y b ∈B, es decir: A × B = {(a, b) | a ∈A y b ∈B} Se usa la notación a R b para denotar que (a, b) ∈ R y a Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {r, s} entonces: A × B = {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)} B × A = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (s, 1), (s, 2), (s, 3)}
Se puede ver que A × B es diferente de B × A
Definición: Una relación binaria, o simplemente relación, R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A × B. Si (a, b) ∈ R se escribe a R b y significa que a esta en relación con b. Si A = B se dice que R es una relación binaria sobre A.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y sea R = {(a, b) | a divide a b}. ¿Cuales pares ordenados están en dicha relación? Nota: La división debe ser entera. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2),(2, 4), (3, 3), (4, 4)} en ese caso R es una relación binaria sobre A.
Definición: Si R ⊆ (A × B) es una relación de A en B, el dominio de R, que se escribe Dom(R), y es el conjunto de los elementos de A que están relacionados con B, es decir: Dom(R) = {a ∈ A | (a, b) ∈ R, para algún b ∈ B} Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {r, s} y R = {(1, r), (1, s), (2, s), (3, s)}, entonces Dom(R) = {1, 2, 3} Definición: Si R ⊆ (A × B) es una relación de A en B, el codominio (rango, imagen o recorrido) de R, se escribe Cod(R) o Ran(R) y es el conjunto de los elementos de B, que están relacionados con algún elemento de A, es decir: Cod(R) = {b ∈ B | (a, b) ∈ R, para algún a ∈ A} Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {r, s} además sea R = {(1, r),(2, s),(3, r)}, entonces Cod(R) = {r, s}
OTRAS REPRESENTACIONES DE LAS RELACIONES Las relaciones además de ser representadas como conjuntos de pares ordenados, se pueden representar de las siguientes maneras: a) Tablas b) Diagramas c) Matriz de Relación d) Por medio de Grafos Dirigidos (dígrafos). Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {r, s} y sea R = {(1, r), (1, s), (2, r), (3, s)}
La representación por medio de grafos dirigidos, se utiliza cuando R es relación binaria sobre A. Ejemplo: Sea R la relación sobre A = {1, 2, 3, 4} definida como sigue: (x, y) ∈ R si x ≤ y donde x, y ∈A Por lo que R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} y su representación como dígrafo es:
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