Es la consecuencia de una comparación que no resulta igual. Si a y b no son iguales se escribe a ≠b.Cuando hay dos expresiones comparadas que no resultaron iguales, solo llega a existir dos opciones, una de ellas es mayor que la otra o una es menor que la otra.

Para esto la simbologia correspondiente es a>b, o bien a<b. Las desigualdades puede ser:

• Absolutas. Cuando la desigualdad no depende de las variables. Ejemplo: 

• Condicionales o inecuacioes. Cuando se cumple la desigualdad solamente para ciertos valores de las variables. Ejemplo:

Entre la resolución de ecuaciones y de las desigualdades se presentan algunas diferencias, como el hecho de que las soluciones de las ecuaciones son valores determinados de las variables mientras que las soluciones de las desigualdades son intervalos de valores.

Las propiedades de las desigualdades son:

• Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva.

        Ejemplo:

• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desigualdad continua.

Ejemplo:

• Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negatia, la desigualdad se invierte.

Métodos de solución de desigualdades

Lineales 

Son las más simples, por lo que solamente contienen variables elevadas a la primer potencia, y para resolverlas solo basta con aplicar los siguientes pasos, ejemplo:

Resuelva la siguiente desigualdad: (4x-8)>(x-9)

Primero se agrupan del lado izquierdo de la desigualdad las incógnitas y del lado derecho las constantes

4x-x > 8-9

Se hacen las operaciones elementales en cada miembro y se despeja el coeficiente de la variable, obteniendo así la solución

3x > -1

x > -1/3

Para la interpretación de la solución, en este caso son todos los números reales mayores que -1/3, la solución esta dada como un intervalo la cuál adopta la siguiente forma:

x ∈ (-1/3, ∞)

La representación gráfica de la solución es:

Cuadráticas

Como su nombre lo indica, son aquellas en las que alguno de sus miembros o en ambos aparece un término cuadrático, por ejemplo:

x²-3x+2 > 0

3x²-x+8 <= x-2

4x²+7x-1 <= x²-6

Para la resolución de este tipo de desigualdades, se llevan los siguientes pasos:

Resolver la desigualdad:  x²-3x+2 > 0

Se factoriza la desigualdad

(x-2)*(x-1) > 0

Se establecen las condiciones bajo las cuales la desigualdad aplicando para este caso la ley de los signos. Este paso es importante, ya que nuestra cuadrática determina dos factores y el producto de ellos debe ser, en este caso, positivo entonces la desigualdad se cumplira cuando ambos factores sean positivos, ya que aplicando la ley de los signos + por + nos da +, o cuando ambos factores sean negativos, ya que - por - es +.

(x-2)*(x-1) > 0

Se cumple si:

Primera condición: (x-2) > 0 y (x-1) > 0

Segunda condición: (x-2) < 0 y (x-1) < 0

Resolvemos las condiciones que hacen que se cumpla la desigualdad, recordando que la conjunción “ y “ nos indica intersección o simultaneidad en la satisfacción de las condiciones. Es decir, el conjunto solución de la primera condición debe satisfacer simultáneamente que tanto (x–2) sea positivo como que (x–1) sea también positivo.

(x–2) > 0 y (x–1) > 0
x > 2 y x > 1

El conjunto solución determinado por esta primera condición es la intersección de las dos soluciones individuales. La solución para este caso es x>2.

Ahora se resuelve la segunda condición

(x–2) < 0 y (x–1) < 0

x<2 y x<1

Es conjunto solución determinado por esta segunda condición es la intersección de las dos soluciones individuales. La solución es x<1.

Establecemos el conjunto solución como la Unión de las dos soluciones individuales. La solución final serán los reales que cumplan la solución dada por la primera condición “ o “ los reales  que cumplan la solución dada por la segunda condición. En este caso, la partícula “ o “ significa unión de soluciones. Por lo tanto, la solución pedida, que SIEMPRE se lee de izquierda a derecha, está dada por:

(x<1) U (x>2)

La solución expresada como un intervalo queda dada por:

(∞<x<1) ∪ (2<x<∞)

Con Valor Absoluto

Para resolver desigualdades con valor absoluto debemos utilizar las propiedades y métodos que se explicaron anteriormente. El conjunto solución de una desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos posibilidades, por definición de valor absoluto, que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si x > k , donde k > 0, entonces en el conjunto solución se incluyen todas las coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen. Por ejemplo:

Resuelva la siguiente desigualdad: |4x+2| > 6.

Hay dos posibilidades

Primer posibilidad

4x+2 > 6

4x > 6-2

x > 4/4

x > 1

Segunda posibilidad

4x+2 < -6

4x < -6-2

x < -8/4

x < -2

La solución para este caso seria:

(− ∞,−2)∪(1,∞)