Leyes de De Morgan

Dados dos conjuntos A y B en un universal U, se verifica:

1. (A∪B)c = Ac ∩Bc

2. (A∩B)c = Ac ∪Bc

Demostración

1. (A∪B)c = Ac ∩Bc

En efecto, sea x un elemento arbitrario del conjunto universal U. Entonces,

x ∈ (A∪B)c ⇐⇒ x /∈ (A∪B) {Definición de complementario}

       ⇐⇒ ¬ [x ∈ (A∪B)] {Negación}

       ⇐⇒ ¬ [(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] {Definición de unión}

       ⇐⇒ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) {De Morgan para ∨}

       ⇐⇒ (x /∈ A) ∧ (x /∈ B) {Negación}

       ⇐⇒ (x ∈ Ac) ∧ (x ∈ Bc) {Definición de complementario}

       ⇐⇒ x ∈ (Ac ∩Bc) {Definición de intersección}

y al ser x un elemento arbitrario de U, se sigue que

∀x [x ∈ (A∪B)c ⇐⇒ x ∈ (Ac ∩Bc)]

luego,

(A∪B)c = Ac ∩Bc

2. Análogamente se prueba que

(A∩B)c = Ac ∪Bc