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Lema Segunda Variación

Lema
Una condición necesaria sobre la segunda variación para tener un máximo local (u*es máximo local) es que
Matrix indefinida negativa

Prueba

Por contradicción (u* es máximo local pero Luu > 0 

Proponga el control

u = u + εv, ε > 0.

Sea δu = u u = εv, como Lu 0 se tiene que

δL = 1 2 ε 2 v T Luu v + O(ε 3 )

como  O(ε 3 ) depende de una potencia mayor que 1 2 ε 2 v T Luu v 

es posible elegir un ε suficientemente pequeño tal que 1 2 ε 2 v T Luu v domine a O(ε 3 ).

Prueba

Como supusimos que Luu > 0,  se tiene que v T Luu v > 0, por lo que 

δL > 0

lo que implica que

L(x, u) L(x, u ) = δL > 0,

y consecuentemente se tiene que por lo que

L(x, u) > L(x, u )

pero esto contradice el hecho de que u* es máximo local, por lo que Luu 0,, es decir algunos de sus valores propios podrían ser cero o negativos, pero nunca positivos.

  • A esta condición se le llama segunda variación.
  • Esto motiva resolver el problema mediante el CALCULO VARIACIONAL.