Condiciones Suficientes para un Óptimo Local

Teorema

Sea una función que exista, que sea acotada y contínua y suponga que

Lu (u , x) = 0 (Lu (u, x)j u=u = 0) δu T Luu (u , x) δu < 0

y para un δu arbitrario, entonces u* es un máximo local.

Prueba

El teorema debe mostrarse mediante la prueba de que existe un ε > 0 tal
que |u- u*| < ε tal que δL = L(x, u) L(x, u ) < 0.

Como se sabe que , esto implica que

δL = 1 2 δu T Luu δu + o(δu 3 ),

defina como el valor propio mayor de por lo que

δu T Luu δu < λmaxδu T δu, (desigualdad de Rayleigh)

ahora elija un ε > 0 tal que δu = ju u j < ε, esto implica que

δL = 1 2 δu T Luu δu + o(δu 3 ) < λmaxδu T δu + o(δu 3 ) < λmaxε 2 + o(ε 3 )

Prueba

Pero como debe ser estrictamente negativo por lo

que se escoge ε > 0 tal que domine en signo a O(ε 3 ) por lo que

δL < 0 ) L(x, u) L(x, u ) < 0 ) L(x, u) < L(x, u )

por lo tanto u* es máximo local y el teorema está probado.

Las condiciones son similares a las anteriores salvo que en

δu T Luu δu < 0

se tiene una desigualdad estricta, esto da condiciones suficientes,
observe que si la desigualdad no es estricta la función en cuestión no
es fuertemente convexa.