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Lema Condición Estacionaria

Lema

Una condición necesaria sobre la primera variación para tener un máximo
local (u* es máximo local) es que:

Lemma

Prueba

Por contradicción. Suponemos que u* es máximo local, pero que Lu=/ 0. Se propone la siguiente ley de control.

u(t)

Donde e>3 puede ser elegida arbitrariamente pequeño. Sustituyendou se
tiene que:

δu = εL T u

Sustituyendo el valor de δu = εL T en la serie de Taylor:

δL = εLuL T u + 1 2 ε 2 LuLu uL T u + O(ε 3 )

por lo que se tiene que

δL = ε kLu k 2 + 1 2 ε 2 LuLu uL T u + O(ε 3 )

debido a que Lu 6= 0,  implica que existe un valor de ε suficientemente
pequeño tal que el término ε kLu k 2 (estrictamente positivo) domina en magnitud al segundo término 1 2 ε 2L T u Lu uL T (observe que ε2 es mas pequeño que ε) por lo que

kδuk = ku(t) u (t)k = ε L T u < ε1, con ε1 > 0.

CONDICIÓN ESTACIONARIA.

Esto significa que para cualquier ε1 vecindad conteniendo a u existe un control u tal que

L(x, u) L(x, u ) = δL > 0,

por lo que

L(x, u) > L(x, u )

pero esto es una contradicción con el hecho de que u* es un máximo, por lo que

Lu 0.

  • A esta condición se le llama CONDICIÓN ESTACIONARIA.
  • Lu es un vector (vector gradiente).