5.2.2.- Dependencia e independencia lineal.

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo \mathbb{K} y sea S=\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}\subset E. Se dice que los vectores v_1,v_2,\ldots,v_m son linealmente independientes o bien que S es un sistema libre si y sólo si se verifica

 

Es decir, son linealmente independientes cuando la única manera de verificarse la igualdad \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\ldots+\lambda_mv_m=0 es para \lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_m=0.

Se dice que los vectores v_1,v_2,\ldots,v_m son linealmente dependientes o bien que S es un sistema ligado si y sólo si no son linealmente independientes. Es decir, cuando para algunos\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m\in\mathbb{K} no todos nulos se verifica \lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\ldots+\lambda_mv_m=0.


Ejemplo 1 En el espacio vectorial usual \mathbb{R}^2 analizar si v_1=(2,-1),\;v_2=(3,2) son linealmente independientes.

 

Solución:

La igualdad \lambda_1(2,-1)+\lambda_2(3,2)=(0,0) equivale al sistema

Sumando a la primera ecuación la segunda multiplicada por 2 obtenemos 7\lambda_2=0 o bien, \lambda_2=0. Sustituyendo en la segunda deducimos \lambda_1=0. Es decir, v_1,v_2 son linealmente independientes.