5.1.2.- Subespacios

Sea V un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial W de V es un subconjunto de V tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en V, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.


Teorema (de caracterización) Sea V un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

  1. \forall a \in F \quad \forall x \in W, \quad {a} \circ{x} \in W
  2. \forall x,y \in W,\quad x\bar+y \in W

Demostración

\rightarrow) Es evidente, porque las operaciones \bar+ y \circ son operaciones en W.

\leftarrow) Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en W porque se cumplen en V.


Corolario Un subconjunto W no vacío de V es subespacio vectorial si y solo si, para cada a,b\in F y para cada x,y\in W se cumple

a\circ x\bar + b\circ y\in W.