INTEGRALES RACIONALES

Suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que el numerador, se descompone el denominador por factores.

Depende mucho de las raíces del denominador se puede encontrar con tipos de integrales racionales, las cuales se describen ahora.

Caso1: Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribirse así:

Aquí los coeficientes son A, B y C, estos son números que se obtienen efecuando la suma de identificando coeficientes o dando valores a x.

Se efectúa la suma:

Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:

Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador.

Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múltiples

La fracción puede escribirse así:

Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro

Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples

La fracción pueden escribirse así:

Esta integral se descompone en una de tipo logarítmica y otra de tico arcotangente.

Hallamos los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Este método también llamado cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar la variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integración por cambio de variable

1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

t=u

dt= u' dx

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2. Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3. Se vuelve a la variable inicial:

Cambios de variables usuales

En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

Si es par: