1.2.2. Análisis de Funciones (Intersección con los ejes. Periodicidad, Crecimiento y Decrecimiento, Máximos y Mínimos: Concavidad y Puntos de Inflexión; Continuidad y Discontinuidad).
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Ahora analizaremos algunas funciones fundamentales para el estudio del Cálculo.
INTERSECCIÓN CON LOS EJES Los ejes "X" y "Y" son parte del sistema de coordenadas cartesianas, también llamado sistema de coordenadas rectangular. Como bien se sabe las coordenadas se encuentran gracias a la distancia de las líneas perpendiculares entre "X" y "Y" que se cruzan. El lugar donde el eje "X" y Y" se reunen es un valor cero tanto en el eje X como en el de Y. Debido a que ambos ejes intersectan en cero, la coordenada de su punto de intersección se describe como (0,0). Para encontrar la intersección en otros puntos ahora visualizaremos el siguiente video.
(Video
tomado del canal Sergio Andrés Caro Acevedo)
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
Se dice que una función es creciente en un punto si, al rededor de ese punto, cuando la x aumenta también la y. Por el contrario una función será dececiente si al aumentar la x disminuye el valor de y. Se dice que una función es constante cuando esta toma el mismo valor al rededor de un punto, la gráfica se mantiene sin subir ni bajar. Como podemos observar en la siguiente imagen la diferencia entre creciente y decreciente.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
En el cálculo estos conceptos son importantes así que retomaremos un poco su concepto, un máximo local (o también llamado relativo) es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Ese punto no tiene porqué ser el punto más alto de la gráfica de la función. Este último se denomina Máximo absoluto. Es decir una función tiene un máximo en un punto cuando su ordenda es mayor que la ordenada de los puntos que lo rodean.
Una función tiene un mínimo en un punto cuando su ordenada es menor que la de los puntos que lo rodean.
PERIODICIDAD
Existen funciones periódicas las cuales son aquellas cuyo comportamiento se va repitiendo cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese intervalo se llama periodo. Como se muestra en la siguiente imagen.
 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los puntos de inflexión en una curva se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.
Se dice que la gráfica de una función f es cóncaba
hacia arriba en un intervalo A,
En la siguiente gráfica una función f es cóncava hacia
arriba en el intervalo a,b y cóncaba hacia abajo en el
intervalo b,c.
PUNTOS DE INFLEXIÓN Es el punto donde una función continua, separa la parte convexa de la cóncava. En ellos la función no es cóncaba ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.
Se caracterizan por
Sea y=f(x) la ecuación de una función. Si f''(a)=0, o f''(a) no existe, y la derivada f''(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función abscisa x=a es un punto de inflexión. En el siguiente videonos proporciona un ejemplo de dichos temas tratados en este apartado, para comprender con más facilidad. Video tomado de (Tareas Plus)
LA CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Por definición la continuidad es una función en que x=a
En el caso de la discontinuidad la función en x=a, f(a) puede existir o no Existe
límite finito en x=a : En caso de existir f(a) entonces :
Ahora
se visualiza un video en el que se explica de mejor
manera, anexando un documento en el cual se desarrolla
con más exactitud este tema. (Documento)
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,
f'(x) es creciente sobre A. Si f'(x) es decreciente
sobre A encontes se dice que la gráfica de f es
cóncaba hacia abajo. 