El modelo de sistema de ecuaciones lineales, se muestra remarcado lo que son los elementos de la diagonal principal.

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b_{1         (1)}

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b_{2        (2)}

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b_{3         (3)}

Se realizarán las operaciones correspondientes de multiplicación, suma y resta de tal forma que desaparescan los cofecientes de x₁ y x₂ para las ecuaciones dos y tres y los coeficientes de la diagonal principal igual a uno.

x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁

0 x₂ + a₂₃x₃ = b₂

0 0 x₃ = b₃

Teniendo el sistema de ecuaciones lineales comenzamos a resolverlo por medio del método de Gauss Simple.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss simple:

2x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 18 

4x₁ - 5x₂ + 6x₃ = 24

3x₁ + x₂ - 2x₃ = 4

Dividimos la ecuación uno por 2, para tener el coeficiente de x₁ igual a 1:

                                                              x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9 ---> Ecuación pivotal

4x₁ - 5x₂ + 6x₃ = 24 ---> Ecuación 2

3x1 + x₂ - 2x₃ = 4 ---> Ecuación 3

Se realizan las operaciones de tal manera que permitan salir a x₁ en la ecuación 2 y ecuación 3.

Multimplicamos la ecuación 1 por -4 y la sumamos a la ecuación 2 (Nota: la ecuación uno se queda como estaba antes de multiplicarla por -4)

[x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9] (-4)

-4x₁ - 8x₂ - 12x₃ = -36

4x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 24  -->Ec. 2 original  

- 3x₂ - 6x₃ = -12 ---> Ec. 2 nueva

Multimplicamos la ecuación 1 por -3 y la sumamos a la ecuación 3 (Nota: la ecuación uno se queda como estaba antes de multiplicarla por -3) 

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9 (-3)

-3x₁ - 6x₂ - 9x₃ = -27

3x₁ + x₂ - 2x₃ = 4  Ec. 3 original

- 5x₂ - 11x₃ = -23 ---> Ec. 3 nueva

Al hacer las operaciones correspondientes queda de la siguiente manera el sistema de ecuaciones:

      x₁+ 2x₂ + 3x₃ = 9 ----> Ec. 1 (Ecuación pivotal)

0x₁ - 3x₂ - 6x₃ = -12 ---> Ec. 2 nueva

0x₁ - 5x₂ - 11x₃ = -23 ---> Ec. 3 nueva

Con el nuevo sistema de ecuaciones lineales volvemos a hacer las operaciones pertinentes para que el coeficiente de x₂ de la segunda ecuación lineal quede en 1, en la tercera ecuación x₂ salga y x₃ quede en 1.

Multimplicamos la ecuación 2 nueva por (-1/3) para que el coeficiente de x₂ sea uno y pase a ser nuestra nueva ecuación pivotal 

[0x₁ - 3x₂ - 6x₃ = -12] (-1/3)

0x₁ + 1x₂ - 2x₃ = 4

Quedando el nuevo sistema como:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9 ----> Ecuación 1

0x_{1 +}  x₂ + 2x₃ = 4 ----> Ecuación 2 (Ecuación pivotal)

0x₁ - 5x₂ - 11x₃ = -23 ----> Ecuación 3

Ahora vamos a multiplicar la ecuación 2 (ecuación pivotal) por 5 la sumamos a la ecución 3

[x₂ + 2x₃ = 4] (5)

5x₁ + 10x₃ = 20     ec. 2 nueva

-5x₁ - 11x₃ = -23    ec. 3

- x₃ = -3 ----> Ecuación 3 nueva

  De esta forma queda el sistema de ecuaciones lineales:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9     ecuación 1

0x_{1 +} x₂ + 2x₃ = 4      ecuación 2

0x₁ + 0x₂ - x₃ = -3     ecuación 3

  Multiplicamos la ecuación 3 por -1, para que el coeficiente de x₃ sea uno.

Sistema de ecuaciones final:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9 ----> Ecuación 1

0x₁ + x₂ + 2x₃ = 4 ----> Ecuación 2

0x₁ + 0 + x₃ = 3 ----> Ecuación 3

Se despeja x₂ en la ecuación 2 y sustituyendo el valor de x₃, queda de la siguiente manera:

x₂ = 4 - 2x₃

x₂ = 4 - 2 (3) = 4 - 6 = -2

Se despeja x₁ en la primera ecuación y se sustituye el valor de x₂ y x₃ :

x₁ = 9 - 2x₂ - 3x₃

x₁ = 9 - 2 (-2) - 3 (3) = 9 + 4 -9 = 4