Veremos una aplicación de las tasas de cambio.

El tamaño de una población está modelada por

donde t es el número de años después del 2001. Calcule la razón de cambio promedio de a) t=2 a t= 4. b) t=2 a t=3 y c) t=2a t=2 1/2.

SOLUCIÓN

a) La razón de cambio promedio de t=2a t=4 viene dada por

b) La razón de cambio promedio de t=2 a t=3 viene dada por

c) La razón de cambio promedio de t=2 a t=2 1/2 viene dada por

Es importante observar que entre el lapso de tiempo de t=2 a t=4 el crecimiento promedio de la población fue de 200 hab/año. Este es un crecimiento promedio porque efectivamente en la primera parte de este periodo el crecimiento promedio de la población fue mayor: de 250 habitantes por año, con lo cual deducimos que es la segunda parte el crecimiento debió de ser menor a 200.

En el primer semestre del año t=2 el crecimiento era de 275 habitantes por año. Así que todo parece indicar que en lapso de t=2 a t=4, la población aumentaba más rápidamente al comienzo que al final. En ese ejemplo estamos hablando en algún sentido de la velocidad. El concepto físico de velocidad está estrechamente ligado con el concepto de tasa de cambio promedio de derivada.

EJEMPLO 2

 Suponga que el desplazamiento de un móvil hasta el tiempo t está dado por la ecuación d(t)=64 + 4t^2 metros, donde t está medido en segundos. Determinar la velocidad promedio durante los tiempos de a) t=2 a t= 4 b) t=2 a t=3 y c) t=2 a t=2 1/2

SOLUCIÓN

a)  La velocidad promedio durante el tiempo de t=2 a t=4 viene dada por

 b) La velocidad promedio durante el tiempo de t=2 a t=3 viene dada por

c)La velocidad promedio durante el tiempo de t= 2 a t= 2 1/2 viene dada por

De nuevo observamos que en el lapso de tiempo de 2 a 4 la velocidad promedio es de 24 m/seg. Sin embargo en la primera parte de este tiempo iba en promedio más despacio: 20 m/seg Esto nos indica que la velocidad no se mantiene constante como efectivamente ocurre cuando vamos en un automóvil. Se quisiera tener una mejor idea de lo que está ocurriendo cerca de 2, por eso nos aproximamos más a 2 omando la velocidad promedio de t=2 a t=2 1/2. Deberíamos cada vez aproximarnos más a 2 para tener una mejor idea de lo que está ocurriendo con la velocidad en ese instante.

En términos generales estamos interesados en "lo velocidad" en el instante c, la que marca el velocímetro en este instante. Denotaremos como c+h un tiempo próximo a c, entonces h será un valor próximo a 0. La velocidad promedio en el lapso de tiempo entre c y c+h será entonces

Esta velocidad está cercana a la velocidad instantánea (o simplemente velocidad) en el tiempo c definida por

Este límite si existe es llamado también la derivada de d(x) en el instante c.